精选罗素悖论与第三次数学危机(31句)
罗素悖论与第三次数学危机
1、康托创立集合论，是基于解决微积分的逻辑基础问题，为了使微积分里面采用的无穷小概念有一个清晰的逻辑基础。
2、但是，基于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度，放弃对数的算术处理，代之以几何处理，从而开始了几何优先发展的时期，在此后两千年间，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。
3、它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、***论的基石，是数学史上的一个里程碑。
4、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
5、罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。
6、“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出，面积等于……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
7、00时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。
8、康托尔建立了集合论，弥补了柯西极限论的逻辑缺欠，使整个数学几乎都可以在集合论的基础上建立起来然而，随着研究的深入，集合论的漏洞也逐渐浮现.1897年，罗素提出，任意一个集合A，有以下两种情况：①AA，②AA；现有这样一个集合Q=，它属于哪一类？人们发现，Q是①当且仅当Q是②，是为悖论.罗素悖论的提出赫然指出康托尔集合论的致命缺漏，建立在康托尔集合论之上的数学大厦轰然崩塌，引发了第三次数学危机.罗素悖论无非是芝诺悖论的引伸.因为其中包含的潜在无限与实在无限的矛盾乃是芝诺悖论的离散与连续矛盾的引伸罗素所给出的反例涉及无穷集合，同样与“无限”相关.由于绕不开“无限”，数学家们通过建立一系列的公理化集合系统加以限定，以排除悖论.
9、如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成***的客观规则的非任意性之间的矛盾。
10、希尔伯特是在 23 岁时以一篇关于不变量理论的论文挤身数学界的，在这篇论文中，它使用了非构造性的证明，而他的证明正是依赖于对无穷的对象使用排中律。
11、 “操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
12、数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算。
13、 从历史阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末，都是发生在西方文化大发展的时期，因此，数学危机的产生，都有其一定的文化背景。
14、1920 年，他声称“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……它只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不可避免使用这个定律是缺乏数学内涵的。”
15、 二分法悖论：运动者到达目标位置前需要先走过原空间的一半，到达一半的位置前需要走过原空间的1/.....以此类推下去，运动者先要走的路无穷小，几乎不能动弹.
16、 “两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
17、从这十点出发，欧几里得通过几何原本勾画出了整个欧氏几何，也是我们中学学过的几何内容。我们学的时候，看不出任何问题。
18、演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。
19、正是这部《数学原理》引起了另一个数学天才的注意，并从而推倒了所有数学公理体系成立的可能，这个天才就是哥德尔！1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明:任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，"无矛盾"和"完备"是不能同时满足的!这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
20、 数学史上的三次危机对中国几乎无甚影响。在中国古代数学中无理数的产生极为自然，由开方产生的无理数，其操作运算就是它的自然解释；而极限的思想方法在中国数学中只是作为一种数学处理方法而已，丝毫没有什么危机。
21、00“贝克莱悖论”提出以后，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。
22、00为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。
23、十九世纪俄国年轻数学家H.N. 罗巴切夫斯基Lobatchevsky (1793 — 1856) 认真分析了前人的经验与教训, 大胆地提出一个新观念: 可能会存在第五公设不能成立的新几何系统。在这种思想的指导下, 他一举而创立了罗巴切夫斯基几何学, 简称罗氏几何学, 又称为双曲几何学。
24、第二次数学危机的解决，是著名数学家柯西引入了极限的概念，认为无穷小量和无穷大量都是变量，只不过无穷小量的极限是零而已。
25、可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。
26、首先，将所有数学形式化，让每一个数学陈述都能用符号表达出来，让每一个数学家都能用定义好的规则来处理这些已经变成符号的陈述。这使得数学家可以摆脱自然语言的模糊性，取而代之的是毫无含糊之处的符号语言。
27、解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结，这带来了逻辑基础的全面研究。
28、 1900年，英国数学家和哲学家罗素在巴黎见到意大利数学家皮亚诺，他发现皮亚诺比其他任何人都严格，并且认定这是他的数理逻辑所致。因此，罗素潜心研究皮亚诺及其学生的著作，并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来，开始他还觉得顺利，但是不久就遇到了问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数，罗素对此有些疑惑，认为以世界上所有的集合为元素构成的集合应该是最大的(因而具有最大基数)，这样他就发觉其中有些矛盾，开始的时候他也觉得这件事也许没什么大不了的，也许是在什么地方绕住了，但是他左思右想仍无法绕过来，结果产生了著名的罗素悖论，引起了关于数学基础的新的争论，从而造成了数学史上更为严重的关于数学基础的第三次危机。
29、1902年，罗素提出了一个著名的理发师悖论。在一个村子里有一位理发师，他只给那些不给自己理发的人理发，那么问题来了，这个理发师给不给自己理发呢？如果他给自己理发，那么这就违背了他只给那些不给自己理发的人理发这条原则；如果他不给自己理发，那么他自己就在他要去理发的那群人当中，这样也违反了他做理发师的原则。
30、罗素悖论以及***论中其它一些悖论，深入到***论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。
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